Question

6．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x-a）•（x-3a）＜0}．
（1）若A⊆B，求a的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围；
（3）若A∪B={x|a＜x＜4}，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分a大于0与a小于0两种情况考虑，求出A为B子集时a的范围即可；
（2）要满足A与B交集为空集，分a大于0，小于0和等于0三种情况考虑，求出a的范围即可．
（3）根据A∪B={x|a＜x＜4}结合集合交集运算的定义，可得满足条件的a的取值范围．

解答 解：（1）∵A={x|2＜x＜4}，
当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，
由A⊆B，得到$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 3a≥4\end{array}\right.$，解得：$\frac{4}{3}$≤a≤2；
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，由A⊆B，得到$\left\{\begin{array}{l}3a≤2\\ a≥4\end{array}\right.$，无解，
当a=0时，B=∅，不合题意，
∴A⊆B时，实数a的取值范围为$\frac{4}{3}$≤a≤2，且a≠0；
（2）要满足A∩B=∅，
分三种情况考虑：
当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，由A∩B=∅，得到a≥4或3a≤2，解得：0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥4；
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，由A∩B=∅，得到3a≥4或a≤2，解得：a＜0；
当a=0时，B=∅，满足A∩B=∅，
综上所述，a≤$\frac{2}{3}$或a≥4．
（3）当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，若A∪B={x|a＜x＜4}，得到a＜4或3a≥4，解得：0＜a≤$\frac{4}{3}$；
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，不存在满足条件的a使A∪B={x|a＜x＜4}；
当a=0时，B=∅，不满足满足A∪B={x|a＜x＜4}，
综上所述，A∪B={x|a＜x＜4}，a的取值范围为0＜a≤$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了交集，并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．