Question

10．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x-lnx（x＞0），则y=f（x）（　　）

• A． 在区间（ $\frac{1}{e}$，1），（1，e）内均有零点
• B． 在区间（ $\frac{1}{e}$，1），（1，e）内均无零点
• C． 在区间（ $\frac{1}{e}$，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
• D． 在区间（ $\frac{1}{e}$，1），内无零点，在区间（1，e）内有零点

Answer 1

分析 先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．

解答 解：由题得f′（x）=$\frac{x-3}{3x}$，令f′（x）＞0得x＞3；
令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，
故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，
在点x=3处有极小值1-ln3＜0；
又f（1）=$\frac{1}{3}$＞0，f（e）=$\frac{e}{3}$-1＜0，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{3e}$+1＞0，
故选：D．

点评 本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系．即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．