Question

2．已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2$\sqrt{2}$，左顶点和上、下顶点连接成的三角形为正三角形．
（1）求椭圆E的方程：
（2）若对于点M（m，0），存在x轴上的另外-点N，使得过点N的任意直线l，当l与椭圆E交于相异两点P，Q时．$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$为定值．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出几何量，即可求椭圆E的方程；
（2）分类讨论，设l的方程y=k（x-n），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，可得结论．

解答 解：（1）由题意可得c=$\sqrt{2}$，
∵左顶点和上、下顶点连接成的三角形为正三角形，
∴2b=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，结合a²=b²+c²=b²+2可解得b²=1，
∴a²=b²+2=3，椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）存在x轴上的另外-点N（n，0），
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-n），
代入椭圆方程得（3k²+1）x²-6nk²x+3n²k²-3=0，
设直线l与椭圆E交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{6n{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{n}^{2}{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=m²-（m+k²n）（x₁+x₂）+（k²+1）x₁x₂+k²n²=m²-$\frac{{k}^{2}（4{n}^{2}+3-6mn）-3}{3{k}^{2}+1}$
∴4n²+3-6mn=-9，$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=m²+3
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=n，代入椭圆方程可得P（n，$\sqrt{1-\frac{{n}^{2}}{3}}$），Q（n，-$\sqrt{1-\frac{{n}^{2}}{3}}$），
∴4n²+3-6mn=-9，$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=m²+3
∴m=$\frac{2}{3}$（n+$\frac{3}{n}$）∈（-∞，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，有难度．