Question

13．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点．
（1）求AD₁与DB所成角的大小；
（2）求AE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系D-xyz，可求$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（2，0，-2），利用向量的夹角公式即可求解．
（2）求坐标$\overrightarrow{AE}$=（-2，2，1）．又$\overrightarrow{DD}$₁=（0，0，2）是平面ABCD的一个法向量，即可利用向量的夹角公式求解．

解答 解：（1）如图建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），D₁（0，0，2）．
则$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（2，0，-2）．
故：cos（$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{{D}_{1}A}$）=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{{D}_{1}A}}{|\overrightarrow{DB}|•|\overrightarrow{{D}_{1}A}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{2}•2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．
所以AD₁与DB所成角的大小为60°．
（2）易得E（0，2，1），所以$\overrightarrow{AE}$=（-2，2，1）．
又$\overrightarrow{DD}$₁=（0，0，2）是平面ABCD的一个法向量，且
cos（$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{D{D}_{1}}$）=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{D{D}_{1}}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{D{D}_{1}}|}$=$\frac{2}{2×3}=\frac{1}{3}$．
所以AE与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．