Question

已知函数，其中是自然对数的底数，．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，求的单调区间；

(3)若，函数的图像与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；（3）．

【解析】

试题分析：(1) 利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切点坐标，最后根据点斜式直线方程求切线方程；(2)利用导数的正负分析原函数的单调性，注意在解不等式时需要对参数的范围进行讨论；(3)根据单调性求函数的极值，根据其图像交点的个数确定两个函数极值的大小关系，然后解对应的不等式即可．

试题解析：（1）因为

所以

所以曲线在点处的切线斜率为

又因为

所以所求切线方程为，即 2分

（2）

①若，当或时，；当时，

所以的单调递减区间为，

单调递增区间为 4分

②若，

所以的单调递减区间为 5分

③若，当或时，；当时，

所以的单调递减区间为，

单调递增区间为 7分

（3）由（2）知函数在上单调递减，在单调递增，在上单调递减

所以在处取得极小值，在处取得极大值 8分

由，得

当或时，；当时，

所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增

故在处取得极大值，在处取得极小值 10分

因为函数与函数的图象有3个不同的交点

所以，即，所以 12分．

考点：1．导数的几何意义；2．函数的单调性与导数；3．分类讨论的思想；4．函数的极值与导数；5．零点问题．