题目内容
1．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“次有界函数”，现给出下列函数：①f（x）=x；②f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$；③f（x）=x2；④f（x）是定义在实数集R的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．
其中是“次有界函数”的序号是①④（写出所有符合条件的全部序号）
分析 由题意，将①带入定义即可，②特殊值f（0）=1不能使之为“次有界函数”，③用反证法，假设其是“次有界函数”，证明假设不成立；④由已知条件构造出|f（x）|≤M|x|的形式，找到M即可．
解答 解：由题意：
因为①中，f（x）=x，所以|f（x）|≤M|x|即|x|≤M|x|，所以对于任意M≥1都能使其恒成立，所以①是“次有界函数”；
因为②中，当x=0时，f（0）=1，所以不存在任意M＞0使|f（0）|≤M|0|，所以②不是“次有界函数”；
因为③中，若f（x）是“次有界函数”，则存在常数M＞0，使|x2|≤M|x|，即|x|≤M对一切x∈R成立，显然不存在M使其成立，所以假设不成立，故f（x）不是“次有界函数”；
④因为f（x）是定义在实数集R上的奇函数，所以f（0）=0．又因为|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|，令x1=x，x2=0，则
|f（x）|≤2|x|，所以f（x）是“次有界函数”；
故答案为①④
点评 本题属于创新型题型，关键在于对新概念的理解以及简单的应用．本题难点是由已学知识转换为与定义相关的形式，需要学生对已学知识进行灵活应用．
练习册系列答案
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9．1-2sin2$\frac{π}{8}$的值等于（ ）
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6．过曲线y=x3-1上一点（1，0）且与该点处的切线垂直的直线方程是（ ）
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