Question

已知关于x的方程sinxsin5x=a在x∈[0，π）上有唯一解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的积化和差公式

专题：三角函数的求值

分析：方程sinxsin5x=a在x∈[0，π）上有唯一解，需对x=0，x=x₀∈（0，

π

2

）∪（

π

2

，π），x=

π

2

分类讨论，利用正弦函数的性质作出判断．

解答：解：①如果x=0是方程的解
则a=0，
∴由sin5x=0，得x=0，

π

5

，

2π

5

，

3π

5

，

4π

5

，是方程的解，
故方程不是唯一解；
②如果x=x₀∈（0，

π

2

）∪（

π

2

，π）是方程的解，
则sinx₀sin5x₀=a
∴sin（π-x₀）sin5（π-x₀）=a，
即π-x₀也是方程的解
故方程不是唯一解
③当x=

π

2

是方程的解，则a=1，
反之 由sinxsin5x=1，且|sinx|≤1，|sin5x|≤1，x∈[0，π）得

sinx=1 sin5x=1

，解得x=

π

2

．
故a=1方程有唯一解．
综上所述，a=1．

点评：本题考查三角函数的性质应用，突出考查正弦函数的零点性质及分类讨论思想的应用，属于难题．