Question

设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x³，则方程f（x）=lg|x|根的个数为（　　）

• A、12
• B、16
• C、18
• D、20

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）的周期性、奇偶性及函数在x∈[0，1]时的解析式可知其大致图象，结合函数y=lg|x|也为偶函数可得方程f（x）=lg|x|根的个数．

解答： 解：当x∈[0，1]时，f（x）=x³，函数是偶函数，
∴当x∈[-1，0]时f（x）=-x³，
函数f（x）的周期为2，
又函数y=lgx当x=10时函数值为1，
∴函数y=lgx与y=f（x）在[0，10]内有9个交点，
而函数y=lg|x|也为偶函数，
由对称性可知，方程f（x）=lg|x|根的个数为18．
故选：C．

点评：本题考查了函数的性质，考查了方程根的个数与函数零点间的关系，是中档题．