Question

已知函数f（x）=|x|-cosx，对于[-π，π]上的任意x₁，x₂，给出如下条件：
①x₁＞|x₂|；②|x₁|＞x₂；③x₁²＞x₂²；④x₁³＞x₂³
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件的序号是

 

（写出序号即可）

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：先判断函数为偶函数，在分类讨论函数的单调区间，根据函数的单调性即可得到结论

解答： 解：函数f（x）为偶函数，
当x∈[-π，0]时，f（x）=-x-cosx，
∴f′（x）=-1+sinx≤0恒成立
∴函数f（x）在[-π，0]上为单调减函数，
由偶函数性质知函数在[0，π]上为增函数，
对于①当x₁＞|x₂|时，∴f（x₁）＞f（x₂）恒成立，
对于②|x₁|＞x₂；若x₁=

π

6

，x₂=-

π

3

，则f（x₁）＜f（x₂），
对于③x₁²＞x₂²；则|x₁|＞|x₂|，∴f（x₁）＞f（x₂）恒成立，
对于；④x₁³＞x₂³，则x₁＞x₂，若x₁=

π

6

，x₂=-

π

3

，则f（x₁）＜f（x₂），
故答案为：①③

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于中档题