Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{a{x^2}+x+b}}{x^2}$的单调递减区间为（-∞，0）和（0，+∞）．
（1）求实数b的值；
（2）当x＞0时，有$\frac{1}{f（x）}$+f（e^x）≥a+1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到x（x+2b）＞0的解集为（-∞，0）∪（0，+∞），所求出b=0即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为（1+ax）（1-e^-x）≤x，设h（x）=（1+ax）（1-e^-x）-x，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=a+\frac{1}{x}+\frac{b}{x^2}$，∴$f'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{2b}{x^3}=\frac{-x-2b}{x^3}$，
所以$\frac{-x-2b}{x^3}＜0$的解集为（-∞，0）∪（0，+∞），
即x（x+2b）＞0的解集为（-∞，0）∪（0，+∞），所以b=0．（4分）
（2）由（1）知$f（x）=\frac{1}{x}+a$，又$\frac{1}{f（x）}+f（{e^x}）≥a+1$，
则$\frac{1}{{\frac{1}{x}+a}}≥1-{e^{-x}}$，由x＞0时，1-e^-x＞0，故a≥0．（5分）
所以$（{1-{e^{-x}}}）（{\frac{1}{x}+a}）≤1$，即（1+ax）（1-e^-x）≤x，
设h（x）=（1+ax）（1-e^-x）-x，（x＞0）（7分）
则h'（x）=e^-x（1+ax-a）+a-1=e^-x[1+ax-a+（a-1）e^x]（x＞0）．
设g（x）=1+ax-a+（a-1）e^x，（x＞0）
则g'（x）=a+（a-1）e^x，g'（0）=2a-1
当2a-1≤0时，即$0≤a≤\frac{1}{2}$时，g''（x）=（a-1）e^x＜0，
所以g'（x）=a+（a-1）e^x单调递减，g'（x）=a+（a-1）e^x＜g'（0）≤0，
故g（x）单调递减，g（x）＜g（0）=0，所以h'（x）＜0恒成立，
h（x）=（1+ax）（1-e^-x）-x在（0，+∞）上单调递减，
h（x）＜h（0）=0符合题意．（10分）
当2a-1＞0时，即$a＞\frac{1}{2}$时，存在x₀＞0，
当x∈（0，x₀）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
g（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（0，x₀）上单调递增，
h（x）＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾．
所以实数a的取值范围是$[{0，\frac{1}{2}}]$．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．