题目内容
已知2x2+4xy+2y2+3x-y=0，试求x与x+2y的取值范围．
考点：不等式的基本性质
专题：不等式的解法及应用
分析：利用方程的思想，设设x+2y=m，则x=m-2y，原方程消元后得到含有参数m的关于y的方程，根据判别式求出m的范围，同理可求x的范围．
解答：
解：设x+2y=m，则x=m-2y，
∵2x2+4xy+2y2+3x-y=0，
∴m×2（m-2y）+2y2+3（m-2y）-y=0，
整理得，2y2-（4m+7）y+2m2+3m=0，
∴△=（4m+7）2-4×2×（2m2+3m）≥0，
解得m≥-
．
即x+2y的取值范围[-
，+∞）．
关于x的范围，将已知方程看成关于y的方程2y2+（4x-1）y+3x+2x2=0，
∴△=（4x-1）2-4×2×（3x+2x2）≥0，
解得x≤
，
x的取值范围（-∞，
]
∵2x2+4xy+2y2+3x-y=0，
∴m×2（m-2y）+2y2+3（m-2y）-y=0，
整理得，2y2-（4m+7）y+2m2+3m=0，
∴△=（4m+7）2-4×2×（2m2+3m）≥0，
解得m≥-
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即x+2y的取值范围[-
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关于x的范围，将已知方程看成关于y的方程2y2+（4x-1）y+3x+2x2=0，
∴△=（4x-1）2-4×2×（3x+2x2）≥0，
解得x≤
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x的取值范围（-∞，
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点评：本题主要考查了方程的思想，根的存在条件，构造关于某一个字母的方程，属于中档题．
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