Question

如果存在满足

1

x

+

m

y

=1的变量x，y（x＞0，y＞0），使得x+y-

x2+y2

最得最大值，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：设x=rcosθ，y=rsinθ(r＞0，0＜θ＜

π

2

)，由

1

x

+

m

y

=1，可得r=

1

cosθ

+

m

sinθ

，设f（θ）=x+y-

x2+y2

利用导数研究其单调性极值与最值可得，令f′（θ）=0，解得m=

cosθ-(-1)

sinθ-(-1)

，画出图形，利用斜率的意义即可得出．

解答： 解：设x=rcosθ，y=rsinθ(r＞0，0＜θ＜

π

2

)，
∵

1

x

+

m

y

=1，∴r=

1

cosθ

+

m

sinθ

，
∴f（θ）=x+y-

x2+y2

=r（sinθ+cosθ-1）=(

1

cosθ

+

m

sinθ

)（sinθ+cosθ-1）=1+m+

sinθ-1

cosθ

+

m(cosθ-1)

sinθ

，
f′（θ）=

cos2θ+cosθ(sinθ-1)

cos2θ

+

-msin2θ-(mcosθ-m)cosθ

sin2θ

，
令f′（θ）=0，
解得m=

cosθ-(-1)

sinθ-(-1)

，
m为动点Q（cosθ，sinθ）到定点P（-1，-1）的斜率，动点Q的轨迹为

1

4

的圆，在第一象限，
由图可知：斜率的最大值为k_PB=2，最小值为k_PA=

1

2

，
∴m的范围为(

1

2

，2)．
故答案为：(

1

2

，2)．

点评：本题考查了通过三角函数代换利用导数研究函数的单调性极值最值转化为斜率的计算，考察了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．