Question

在x+的取值范围内定义函数f(x)，使得f(x+)=x²+求f(x)的表达式及定义域.

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一：∵f(x+)=x2+＝（x+）2－2, ∴f(x)=x2－2,这里将x2+变形(配凑)为(x+)2－2可清楚地看出“程序”f是对“信息”先平方，再从结果中减去2，此法称为“配凑法”.它需要较强的恒等变形能力. 方法二：令t=x+, ∵t2=(x+)2=x2++2, ∴x2+=t2－2于是f(t)=t2－2. ∴f(x)=x2－2. 这种方法称为换元法，也是求函数解析式的方法，但要注意换元时两个变量的取值范围的等价性. ∵x+的取值范围是x≠0时，t=x+的范围为 （－∞，－2∪［２，＋∞］. ∴f(x)的定义域为：（－∞，－2∪  ［２，＋∞.

提示：

可以形象地把“f”理解为一种“程序”，对输入来的“信息”，通过它输出“讯号”，如f(x)=其“程序”f就是将“信息”x从1中减去，再取倒数(为此，势必要求“信息”x≠1，否则1－x=0，将使这一步无法进行)，所以当已知f(x)的解析式求f(x+1)，f［f(x)］时，只须分别将x+1、f(x)代入f(x)的解析式即可.结合本题的已知条件和所求问题即可理解为：已知输入“信息”是x+时，通过“程序”f输出“讯号”x2+，问当输入“信息”是x时，输出“讯号”f(x)是什么? 解决问题的关键是要弄清楚“程序”f是怎样对“信息”x+作用(施行了什么运算?)而得到输出“讯号”x2+的.