Question

设数列{a_n}的前n项和S_n满足

Sn

n

=3n-2
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

3

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出S_n=3n²-2n，由此利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a_n=6n-5，推导出bn=

3

anan+1

=

1

2

（

1

6n-5

-

1

6n+1

），由此利用裂项求出和法求出T_n=

1

2

（1-

1

6n+1

），再由

1

6n+1

＞0，能求出使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和S_n满足

Sn

n

=3n-2，
∴S_n=3n²-2n，
∴a₁=S₁=3-2=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]
=6n-5，
当n=1时，6n-5=1=a₁，
∴a_n=6n-5．
（Ⅱ）∵a_n=6n-5，
∴bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

（

1

6n-5

-

1

6n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

7

+

1

7

-

1

13

+…+

1

6n-5

-

1

6n+1

）
=

1

2

（1-

1

6n+1

），
∵n∈N^*，∴

1

6n+1

＞0，
∴T_n=

1

2

（1-

1

6n+1

）＜

1

2

，
又∵T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立，
∴

m

20

≥

1

2

，解得m≥10．
∴使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m为10．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法及其应用，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．