Question

7．记S_n为数列{a_n}的前项n和，已知a_n＞0，${a_n}^2-2{S_n}=2-{a_n}$（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{3}{{{a_{2n}}{a_{2n+2}}}}$，求数列{b_n}的前项n和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数列的通项公式与数列和的关系式，化简已知条件，推出数列是等差数列，然后求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）化简${b_n}=\frac{3}{{{a_{2n}}{a_{2n+2}}}}$，利用裂项消项法求解数列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）由${a_n}^2-2{S_n}=2-{a_n}$得${a_{n+1}}^2-2{S_{n+1}}=2-{a_{n+1}}$
相减得${a_{n+1}}^2-{a_n}^2-2（{{S_{n+1}}-{S_n}}）={a_n}-{a_{n+1}}$
即${a_{n+1}}^2-{a_n}^2-（{{a_{n+1}}+{a_n}}）=0$，（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）-（a_n+1+a_n）=0
因为a_n＞0      解得a_n+1-a_n=1（n∈N^*）
故数列{a_n}为等差数列，且公差d=1    …（4分）
又a₁²-2S₁=2-a₁
解得a₁=2或a₁=-1（舍去）
a_n=n+1              …（6分）
$（Ⅱ）{b}_{n}=\frac{3}{{a}_{2n}{a}_{2n+2}}=\frac{3}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{3}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，

$则{T_n}=\frac{3}{2}[{（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）}]$…（10分）
=$\frac{3}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}）=\frac{n}{2n+3}$…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．