Question

9．如图所示的多面体中，已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，CD=8．
（1）证明：BD⊥平面BCF；
（2）设二面角E-BC-F的平面角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B，C，E，F，利用$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{CF}$=0，然后证明BD⊥平面BCF；
（2）通过$\overrightarrow{BD}$是平面BCF的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，设平面BCE的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），通过$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，求出$\overrightarrow{{n}_{2}}$，然后利用数量积求出cosθ的值．

解答 （1）证明：以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（4，4，0），C（0，8，0），E（0，0，4），F（0，8，4），
$\overrightarrow{BD}$=（-4，-4，0），$\overrightarrow{BC}$=（-4，4，0），$\overrightarrow{CF}$=（0，0，4），
可得$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BC}$=-16+16+0=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{CF}$=0+0+0=0，
∴BD⊥BC，BD⊥CF，且BC与CF相交于C，
∴BD⊥平面BCF；
（2）解：∵BD⊥平面BCF，$\overrightarrow{BD}$是平面BCF的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-4，-4，0），
设平面BCE的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{BC}$=（-4，4，0），$\overrightarrow{BE}$=（-4，-4，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{-4x+4y=0}\\{-4x-4y+4z=0}\end{array}\right.$
取$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，1，2），
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$|=|$\frac{-4-4}{4\sqrt{2}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题．