Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为$\frac{\sqrt{2}}{10}，\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{sinαcosα-6co{s}^{2}α}$的值；
（Ⅱ）求α+β的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角函数的定义即可求tanα，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
（Ⅱ）求出tanα，tanβ，即可求tan（α+β）的值，结合角的范围即可得解α+β的值．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，A（$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）  …（1分）
∴tanα=7，…（3分）
∴$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{sinαcosα-6co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{tanα-6}$…（5分）
=$\frac{{7}^{2}+7}{7-6}$=56．  …（6分）
（Ⅱ）由题意得，B（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），tanβ=$\frac{4}{3}$，…（7分）
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$        …（8分）
=$\frac{7+\frac{4}{3}}{1-7×\frac{4}{3}}$        …（9分）
=-1．    …（10分）
又∵α，β是锐角，
∴0＜α+β＜π，…（11分）
∴α+β=$\frac{3π}{4}$．  …（12分）

点评 本题主要考查三角函数值的计算，要求熟练掌握相应的三角公式，属于基础题．