Question

17．已知直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数），曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}$（t为参数），顶点为O．
（1）求直线的倾斜角和斜率；
（2）证明直线l与曲线C相交于两点；
（3）设（2）中的交点为A，B，求三角形AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）将将直线l的参数方程转化成普通方程：y=x-1，即可求得直线的倾斜角和斜率；
（2）求得曲线C的一般方程，将直线方程代入曲线C，消去x，求得关于y的一元二次方程，根据△＞0，即可证明直线l与曲线C相交于两点；
（3）分别求得A和B的纵坐标，根据抛物线的性质即三角形的面积公式即可求得三角形AOB的面积．

解答 解：（1）将直线l的参数方程转化成普通方程：y=x-1，
直线的倾斜角为45°，斜率为1；…（4分）
（2）证明：将曲线c的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.（t为参数）$中的参数t消去得
曲线c的一般方程是：y²=4x，…（5分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去x得：y²-4y-4=0①…（6分）
△=（-4）²-4×1×（-4）=32＞0∴方程①有两个不同的实数根，
∴直线l与曲线c相交于两点．　　　…（8分）
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（2）可得，${y_1}=2+2\sqrt{2}$，${y_2}=2-2\sqrt{2}$，
由抛物线的图象知，直线l经过抛物线的焦点F（1，0），…（10分）
∴${S_{△AOB}}={S_{△AOF}}+{S_{△BOF}}=\frac{1}{2}×1×|{y_1}-{y_2}|=2\sqrt{2}$
∵△AOB的面积为$2\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题考查参数方程与普通方程得转换，直线与抛物线的位置关系即抛物线的基本性质，考查综合分析问题及解决问题的能力，属于中档题．