Question

6．已知a∈（$\frac{π}{2}$，π），sina=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅰ）求tan（$\frac{π}{4}$+2a）的值；
（Ⅱ）求cos（$\frac{5π}{6}$-2a）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件求出cosα的值，再求出tanα和tan2α的值，根据诱导公式进一步求出tan（$\frac{π}{4}$+2a）的值；
（Ⅱ）由sinα和cosα的值，求出sin2α和cos2α的值，根据诱导公式进一步求出cos（$\frac{5π}{6}$-2a）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵sina=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，a∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cosα=$-\sqrt{1-si{n}^{2}α}=-\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴$tanα=\frac{sinα}{cosα}=-\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=-\frac{1}{2}$．
则$tan2α=\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}=\frac{2×（-\frac{1}{2}）}{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}=-\frac{4}{3}$
∴tan（$\frac{π}{4}$+2a）=$\frac{tan\frac{π}{4}+tan2α}{1-tan\frac{π}{4}tan2α}$=$\frac{1-\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{3}}=-\frac{1}{7}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$cosα=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$sin2α=2sinαcosα=2×\frac{\sqrt{5}}{5}×（-\frac{2\sqrt{5}}{5}）$=$-\frac{4}{5}$，
$cos2α=1-2si{n}^{2}α=1-2×（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}=\frac{3}{5}$，
cos（$\frac{5π}{6}$-2a）=$cos\frac{5π}{6}cos2α+sin\frac{5π}{6}sin2α$
=$-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×（-\frac{4}{5}）=-\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了同角的平方关系、诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．