Question

13．函数y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1，x∈R
（1）当函数y取得最大值时，求自变量的取值集合；
（2）该函数的图象可由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（3）试用“五点”法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数最大值为1，求出y的最大值，以及此时x的取值集合；
（2）先ω，再φ，后A，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．
（3）列表，令 2x+$\frac{π}{6}$分别等于0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，求得对应的x，y值，以这五对x，y值作为点的坐标，在坐标系中描出，用平滑曲线连接，即得它在一个周期内的闭区间上的图象．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1
=$\frac{1+cos2x}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+1
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z时，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最大值1，y取得最大值$\frac{7}{4}$；
（2）将函数y=sinx的图象上每一个点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），再将图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位长度，再将图象上每一个点的纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍（横坐标不变）；最后在整体向上平移$\frac{5}{4}$个单位即可得到函数f（x）的图象．
（3）列表：

2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$-\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$	0	3	0	-3	0

作图如下：

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．