Question

2．已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$，则a₁₂等于（　　）

• A． $\frac{1}{21}$
• B． $\frac{1}{23}$
• C． $\frac{1}{25}$
• D． $\frac{1}{27}$

Answer 1

分析 由递推公式依次求出数列的前四项由此猜想${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．再用数学归纳法进行证明，从而能求出a₁₂．

解答 解：∵在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$，
∴${a}_{2}=\frac{1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
${a}_{3}=\frac{\frac{1}{3}}{2×\frac{1}{3}+1}$=$\frac{1}{5}$，
${a}_{4}=\frac{\frac{1}{5}}{2×\frac{1}{5}+1}$=$\frac{1}{7}$，
由此猜想${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
①当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{2×1-1}$=1，成立．
②假设n=k（k≥2）时，${a}_{k}=\frac{1}{2k-1}$成立，
则当n=k+1时，${a}_{k+1}=\frac{{a}_{k}}{2{a}_{k}+1}$=$\frac{\frac{1}{2k-1}}{\frac{2}{2k-1}+1}$=$\frac{1}{2+2k-1}$=$\frac{1}{2（k+1）-1}$，也成立，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$，
∴a₁₂=$\frac{1}{2×12-1}$=$\frac{1}{23}$．
故选：B．

点评 本题考查数列的第12项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想和数学归纳法的合理运用．