Question

1．已知非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，且|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=2|$\overrightarrow a$|，则向量$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，且|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=2|$\overrightarrow a$|，两边平方解得$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$，不妨令$\overrightarrow{a}$=（1，0），则$\overrightarrow{b}$=（0，$\sqrt{3}$）．利用向量的数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，且|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=2|$\overrightarrow a$|，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}=4|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，解得$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$，
不妨令$\overrightarrow{a}$=（1，0），则$\overrightarrow{b}$=（0，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（1，-$\sqrt{3}$），
设向量$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$与$\overrightarrow b$的夹角为θ．
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-3}{2×\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$θ=\frac{5π}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．