Question

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（-x），当x∈（0，

1

2

]时，f（x）=log

1

2

（1-x），则f（x）在区间（1，

3

2

）内是（　　）

• A、减函数且f（x）＞0
• B、减函数且f（x）＜0
• C、增函数且f（x）＞0
• D、增函数且f（x）＜0

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f（x）在（1，

3

2

）上图象和在（-1，-

1

2

）上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解；因为定义在R上的奇函数满足f（x+1）=f（-x），
所以f（x+1）=-f（x），即f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
所以函数的周期是2，
则f（x）在（1，

3

2

）上图象和在（-1，-

1

2

）上的图象相同，
设x∈（-1，-

1

2

），则x+1∈（0，

1

2

），
又当x∈（0，

1

2

]时，f（x）=log

1

2

（1-x），
所以f（x+1）=log

1

2

（-x），
由f（x+1）=f（-x）得，f（-x）=log

1

2

（-x），
所以f（x）=-f（-x）=-log

1

2

（-x），
由x∈（-1，-

1

2

）得，f（x）=-log

1

2

（-x）在（-1，-

1

2

）上是减函数，且f（x）＜f（-1）=0，
所以则f（x）在区间（1，

3

2

）内是减函数且f（x）＜0，
故选：B．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．