Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+x2 （a为实常数）．
（1）当a=﹣4时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数；
（3）若 a＞0，且对任意的x1 ， x2∈[1，e]，都有|f（x1）﹣f（x2）| ，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣4时， ，

当 时，f'（x）＜0；当 时，f'（x）＞0．

∴f（x）的单调递减区间为 ，单调递增区间为

（2）解：当x=1时，方程f（x）=0无解．

当x≠1时，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等价于方程 （x∈（1，e]）．

设g（x）= ，则 ．

当 时，g'（x）＜0，函数g（x）递减，

当 时，g'（x）＞0，函数g（x）递增．

又g（e）=e2， ，作出y=g（x）与直线y=﹣a的图像，

由图像知：

当2e＜﹣a≤e2时，即﹣e2≤a＜﹣2e时，方程f（x）=0有2个相异的根；

当a＜﹣e2或a=﹣2e时，方程f（x）=0有1个根；

当a＞﹣2e时，方程f（x）=0有0个根

（3）解：若a＞0时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，函数 在区间[1，e]上是减函数．

不妨设1≤x1≤x2≤e，

则|f（x1）﹣f（x2）| 等价于 ．

即 ，

即函数 在x∈[1，e]时是减函数．

∴ ，即 在x∈[1，e]时恒成立．

∵ 在x∈[1，e]时是减函数，∴ ．

所以，实数a的取值范围是 ．

【解析】（1）当a=﹣4时，利用导数的运算法则可得 ，在区间（0，+∞）上分别解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出单调区间；（2）当x=1时，方程f（x）=0无解．当x≠1时，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等价于方程 （x∈（1，e]）．
设g（x）= ，则 ．分别解出g′（x）＞0与g′（x）＜0即可得出单调性，
又g（e）=e2 ， ，作出y=g（x）与直线y=﹣a的图像，由图像可知a的范围与方程根的关系；（3）若a＞0时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，函数 在区间[1，e]上是减函数．
不妨设1≤x1≤x2≤e，则|f（x1）﹣f（x2）| 等价于 ．
即 ，即函数 在x∈[1，e]时是减函数．
可得 ，即 在x∈[1，e]时恒成立．再利用 在x∈[1，e]时是减函数，即可得出实数a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．