Question

奇函数f（x）满足：①f（x）在（-∞，-2]内单调递增，在（-2，0]递减；②f（-2）=0，则不等式

f(x)

x

≥0的解集是

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由奇函数的性质可得，f（x）在[0，2）递减，[2，+∞）递增，f（2）=0，不等式

f(x)

x

≥0即为

x＞0 f(x)≥0=f(2)

或

x＜0 f(x)≤0=f(-2)

，根据单调性和函数值的符号，即可得到解集．

解答： 解：奇函数f（x）满足f（-x）=-f（x），
由于f（x）在（-∞，-2]内单调递增，在（-2，0]递减，
则f（x）在[0，2）递减，[2，+∞）递增，
且f（2）=f（-2）=0，
不等式

f(x)

x

≥0即为

x＞0 f(x)≥0=f(2)

或

x＜0 f(x)≤0=f(-2)

，
由于f（x）在（0，2）递减，有f（x）＜0，
则x＞0时，f（x）≥f（2），
解得，x≥2；
同样，x＜0时，f（x）在（-2，0）递减，有f（x）＞0，
则x＜0时，f（x）≤f（-2），
解得，x≤-2．
则不等式的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．