Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n（n∈N^*），若对于任意不小于2的正整数n，恒有2ⁿ⁺¹×λ×（9n²-21n+16）＞T_n-8，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由条件得方程组

2+3d+2q3=27 8+6d-2q3=10

，由此能求出a_n=3n-1，b_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）由Tn=2×2+5×22+8×23+…+(3n-1)×2n，利用错位相减法得到Tn=(3n-4)×2n+1+8，2ⁿ⁺¹×λ×（9n²-21n+16）＞T_n-8等价于（9n²-21n+16）λ＞3n-4，由此能求出实数λ的范围．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
等比数列{b_n}的公比为q，由a₁=b₁=2，
得a4=2+3d，b4=2q3，S4=8+6d，
由条件得方程组

2+3d+2q3=27 8+6d-2q3=10

，
解得d=3，q=2，
∴a_n=3n-1，b_n=2ⁿ（n∈N^*）．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Tn=2×2+5×22+8×23+…+(3n-1)×2n①2Tn=2×22+5×23+8×24+…+(3n-1)×2n+1②
由①-②得，

-Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-1)×2n+1 = 6×(1-2n) 1-2 -(3n-1)×2n+1-2 =-(3n-4)×2n+1-8

即Tn=(3n-4)×2n+1+8，（10分）
2ⁿ⁺¹×λ×（9n²-21n+16）＞T_n-8等价于（9n²-21n+16）λ＞3n-4，
∵n是正整数（不小于2），那么9n²-21n+16＞0
∴λ＞

3n-4

9n2-21n+16

，（12分）
而f(n)=

3n-4

9n2-21n+16

=

3n-4

(3n-4)2+(3n-4)+4

由于n≥2，∴3n-4＞0，f(n)=

1

(3n-4)+ 4 3n-4 +1

≤

1

5

当且仅当3n-4=

4

3n-4

时取等号，此时n=2
综上实数λ的范围为λ≥

1

5

．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法和等价转化思想的合理运用．