Question

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，X轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系．曲线C₁的参数方程为：

x=acosφ y=sinφ

（φ为参数）；射线C₂的极坐标方程为：θ=

π

4

，且射线C₂与曲线C₁的交点的横坐标为

6

3

（I）求曲线C₁的普通方程；
（II）设A、B为曲线C₁与y轴的两个交点，M为曲线C₁上不同于A、B的任意一点，若直线AM与MB分别与x轴交于P，Q两点，求证|OP|．|OQ|为定值．

Answer 1

（Ⅰ）由于曲线C₁的参数方程为：

x=acosφ y=sinφ

（φ为参数），
利用同角三角函数的基本关系可得

x2

a2

+

y2

1

=1．
由于射线C₂的极坐标方程为：θ=

π

4

，故射线C₂的方程为 y=x （x≥0）．
把射线的方程代入

x2

a2

+

y2

1

=1可得 x²=

a2

a2+1

．
再由射线C₂与曲线C₁的交点的横坐标为

6

3

，可得

a2

a2+1

=

6

9

，解得 a²=2，
故曲线C₁的普通方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由|OP|•|OQ|为定值．由（Ⅰ）可知曲线C₁为椭圆，不妨设A为椭圆C₁的上顶点，
设M（

2

cosθ，sinθ），P（x_P，0），Q（x_Q，0），因为直线MA与MB分别与x轴交于P、Q两点，
所以K_AM=K_AP，K_BM=K_BQ，由斜率公式并计算得 x_P=

2 cosθ

1-sinθ

，x_Q=

2 cosθ

1+sinθ

，
所以|OP|•|OQ|=|x_P•x_Q|=2，可得|OP||OQ|为定值．