Question

在极坐标系中，圆C₁的方程为ρ=4

2

cos（θ-

π

4

），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C₂的参数方程

x=-1+αcosθ y=-1+αsinθ

（θ为参数），若圆C₁与C₂相切，则实数a=______．

Answer 1

∵圆C₁的方程为ρ=4

2

cos（θ-

π

4

），
∴⊙C₁的方程化为ρ=4cosθ+4sinθ，则ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ，
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得x²+y²-4x-4y=0，
∴圆心C₁坐标为（2，2），半径r₁=2

2

，
∵圆C₂的参数方程是

x=-1+acosθ y=-1+asinθ

，
∴其普通方程是（x+1）²+（y+1）²=a²，
∴以C₂的坐标是（-1，-1），r²=|a|，
∵两圆相切，
∴当外切时|C₁C₂|=|a|+2

2

=

(2+1)2+(2+1)2

=3

2

，解得a=±

2

，
内切时|C₁C₂|=|a|-2

2

=

(2+1)2+(2+1)2

=3

2

，解得a=±5

2

∴a=±

2

或±5

2

．
故答案为：±

2

或±5

2

．