Question

已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是：（是参数).
（1）将曲线和曲线的方程转化为普通方程；
（2）若曲线与曲线相交于两点，求证；
（3）设直线交于两点，且（且为常数），过弦的中点作平行于轴的直线交曲线于点，求证：的面积是定值．

Answer 1

（1）；；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.

试题分析：（1）先将极坐标方程转化为，后由极坐标与普通方程转化的关系式得出；由消去参数即可得到；（2）联立方程消去得到，设，根据根与系数的关系得到，进而得到，再检验即可证明；（3）联立方程，消得，进而得到，由得出，进而确定的坐标，最后计算可得结论.
（1）由极坐标方程可得
而，所以即
由消去参数得到
（2）设，联立方程并消元得：
，

（3），消得，
由（且为常数），得
，又可得中点的坐标为
所以点，，面积是定值．