Question

13．已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当0＜x≤1时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，则方程f（x）-1=0在（0，6）内的零点之和为（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 可根据定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称⇒f（x+4）=f（x），再利用0＜x≤1时，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$≥0，数形结合，可求得方程f（x）-1=0在区间（0，6）内的所有零点之和．

解答 解：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，
∵0＜x≤1时，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$≥0，
∴f（x）=1在（0，1）内有一实根x₁，又函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=1在（1，2）有一个实根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）是奇函数，f（x）的周期为4，
∴f（x）=1在（2，3），（3，4）上没有根；在（4，5），（5，6）各有一个实根x₃，x₄，x₃+x₄═10；
∴原方程在区间（0，6）内的所有实根之和为12．
故选：C．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断及奇偶函数图象的对称性，关键在于判断f（x）的周期为4，再结合“0＜x≤1时，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$”与奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，数形结合予以解决，属于中档题．