Question

5．设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算，如果满足下述四个条件
（1）对于?a，b∈G，都有a*b∈G；
（2）对于?a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；
（3）对于?a∈G，?e∈G，使得 a*e=e*a=a；
（4）对于?a∈G，?a′∈G，使得 a*a′=a′*a=e
则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运箅
①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法，其中G关于运算*构成群的序号是①④（将你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

分析 逐一检验给出的集合与运算是否满足运算*构成群的定义中的两个条件，即可得出结论．

解答 解：①若G是整数集合，
则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（ iii）?0∈G，?a∈G，则）0+a=a+0=a；（ iv）?a∈G，在整数集合中存在唯一一个b=-a，使a+（-a）=（-a）+a=0；
故整数集合关于运算*构成一个群；
②G是奇数集合，*为乘法，则e=1，不满足（ iv）；
③G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足（i）a*b∈G；
④G是非零复数集合，*为乘法，
则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（ iii）?1∈G，?a∈G，则）1×a=a×1=a；（ iv）?a∈G，在G中存在唯一一个 $\frac{1}{a}$，使a×$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{a}$×a=1．
故答案为：①④．

点评 本题考查运算*构成群的定义，举反例可以证明命题为假，若证明命题为真，则需严格的证明．