Question

已知函数f（x）=

sinx，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

有下列说法：
①函数f（x）对任意x₁，x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2成立
②函数f（x）在[

1

2

（4n-3），

1

2

（4n-1）]（n∈N•）上单调递减；
③函数y=f（x）-log₂x+1在（0，+∞）上有3个零点；
④当k∈[

8

7

，+∞）时，对任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

都成立．
其中正确的说法的个数是（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：作函数f（x）=

sinx，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

的图象，由图象对四个命题判断．

解答： 解：作函数f（x）=

sinx，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

的图象如下，

由图可知，
①函数f（x）对任意x₁，x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2成立，正确；
②函数f（x）在（2n，2n+

π

2

]，（n∈N）上是增函数，故在[

1

2

（4n-3），

1

2

（4n-1）]（n∈N•）上也单调递增；故不正确；
③函数y=f（x）-log₂x+1在（0，+∞）上有3个零点即y=f（x）与y=log₂x-1的交点个数，
作y=f（x）与y=log₂x-1的图象如下，

没有交点，故没有零点；故不正确；
④f（x）≤

k

x

可化为xf（x）≤k，作y=xf（x）的图象如下，

当k∈[

8

7

，+∞）时，对任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

都成立显然不正确．
故选D．

点评：本题考查了函数的图象的作法与应用，属于中档题．