Question

8．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=$\frac{π}{2}$，以AB为直径的⊙O恰与CD相切于点E，⊙O交BC于F，连结EF．
（Ⅰ）求证：AD+BC=AB；
（Ⅱ）求证：EF是AD与AB的等比中项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OE，利用圆的直径与梯形的中位线定理，即可证明结论成立；
（Ⅱ）连接AF，利用勾股定理和切割线定理，结合题意即可求出EF是AD与AB的等比中项．

解答 证明：（Ⅰ）如图所示，
连接OE，∵CD与⊙O相切于点E，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
又OE⊥DC，
∠C=$\frac{π}{2}$，
∴OE∥BC，且OE=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴AD+BC=AB；
（Ⅱ）∵CD与⊙O相切，
∴CE²=CF•CB，
连接AF，则AF⊥BF，
∴AF∥CD，
∴AD=FC，
∴EF²=CE²+CF²
=CF•CB+CF²
=CF•（CB+CF）
=AD•（CB+AD）
=AD•AB；
即EF是AD与AB的等比中项．

点评 本题考查了与圆有关的比例线段以及切割线定理的应用问题，考查了逻辑推理与证明能力，是综合性题目．