Question

13．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，点E、F分别在CD、AB上，且EF⊥CD，BE⊥BC，BC=1，CE=2．现将矩形ADEF沿EF折起，使平面ADEF与平面EFBC垂直（如图2）．
（Ⅰ）求证：CD∥面ABF；
（Ⅱ）当AF的长为何值时，二面角A-BC-F的大小为30°．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CE∥面ABF，DE∥面ABF，由此能证明面CDE∥面ABF，从而CD∥面ABF．
（Ⅱ）过F作CB的垂线，交CB的延长线于H点，连结AH，推导出∠AHF是二面角A-BC-F的平面角，由此能求出AF的长．

解答 证明：（Ⅰ）∵CE∥BF，CE?面ABF，BF?面ABF，
∴CE∥面ABF，
又DE∥AF，DE?面ABF，AF?面ABF，
∴DE∥面ABF，
∵DE∩CE=E，且DE、CE?面CDE，
∴面CDE∥面ABF，
又CD?面CDE，∴CD∥面ABF．
解：（Ⅱ）过F作CB的垂线，交CB的延长线于H点，连结AH，
∵面ADEF⊥面EFBC，AF⊥EF，
∴AF⊥面EFBC，CB?面EFBC，
∴CB⊥AF，CB⊥面AF，
∴AH⊥CH，
∴∠AHF是二面角A-BC-F的平面角，
∴∠AHF=30°，
∵BC=1，CE=2，且BE⊥BC，∴∠BCE=60°，
在直线梯形EFBC中，BF=2-cos60°=$\frac{3}{2}$，
∴FH=$\frac{3}{2}sin60°$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
在直角三角形AHF中，AF=FH$•tan∠AHF=\frac{3\sqrt{3}}{4}•\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．