Question

4．已知函数f（x）对任意的x∈R都满足f（x）+f（-x）=0，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，0≤x≤a}\\{-a，a＜x＜2a}\\{x-3a，x≥2a}\end{array}\right.$，（a＞0），若对?x∈R，都有f（x-2）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{4}$）
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]
• C． （0，$\frac{1}{3}$]
• D． （0，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 函数f（x）对任意的x∈R都满足f（x）+f（-x）=0，可得函数f（x）是奇函数．利用奇函数的对称性画出图象．及其对?x∈R，都有f（x-2）≤f（x），即可得出．

解答 解：函数f（x）对任意的x∈R都满足f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），因此函数f（x）是奇函数．
当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，0≤x≤a}\\{-a，a＜x＜2a}\\{x-3a，x≥2a}\end{array}\right.$，（a＞0），利用对称性画出图象．
∵对?x∈R，都有f（x-2）≤f（x），
∴将函数f（x）的图象向右平移2个单位后的图象在y=f（x）的图象的非上方，
∴6a≤2，a＞0，
解得$0＜a≤\frac{1}{3}$．
则实数a的取值范围是$0＜a≤\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．