Question

14．若函数f（x）=asinx+cosx在区间$（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$上单调递增，则实数a的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解f′（x）≥0恒成立即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=acosx-sinx，
∵函数f（x）=asinx+cosx在区间$（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$上单调递增，
∴f′（x）≥0在区间$（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$上恒成立，
即f′（x）=acosx-sinx≥0，
即acosx≥sinx，
即a≥$\frac{sinx}{cosx}$=tanx
∵x∈$（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$，
∴tan$\frac{π}{6}$＜tanx＜tan$\frac{π}{4}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜tanx＜1，
则a≥1，
故答案为：[1，+∞）

点评 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用导数法是解决本题的关键．