Question

16．若$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤a\sqrt{x+y}$（x＞0，y＞0）恒成立，则a的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 运用参数分离可得a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$恒成立，由不等式（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，即可得到a的最小值．

解答 解：$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤a\sqrt{x+y}$（x＞0，y＞0）恒成立，即为
a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$恒成立，
由不等式（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，即有a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，当且仅当a=b取得等号．
则$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤$\sqrt{2（x+y）}$，
即有$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$≤$\frac{\sqrt{2（x+y）}}{\sqrt{x+y}}$=$\sqrt{2}$，当且仅当x=y取得最大值．
则有a≥$\sqrt{2}$，即a的最小值为$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为函数最值的求法，注意运用重要不等式，考查化简运算能力，属于中档题．