Question

如图，在三棱锥中，和都是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点.

（1）证明：平面//平面;
（2）证明：；
（3）若，求三棱锥的体积．

Answer 1

（1）证明过程详见试题解析；（2）证明过程详见试题解析；（3）.

试题分析：（1）要证明平面//平面，就是要在一个平面内找两条相交直线平行另一个平面，从题目所给出的条件可以容易得到在平面中，,从而得到平面//平面；（2）要证明，可取的中点，连结,由条件得到,由于,所以有；（3）由于，所以求三棱锥的体积可以转化成求和,而和即可整合成,所以求得,可得所求体积为.
试题解析：（1）证明：∵ E、F分别是AC、BC的中点，
∴  
∵
∴
∵  
∴  
（2）证明：取的中点，连结、，

∵ △和△都是以为斜边的等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
（3）解：在等腰直角三角形中，，是斜边的中点，
∴
同理. 
∵
∴ △是等边三角形，
∴  
∵
所以