题目内容
如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，请说明理由．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，请说明理由．
（1）见解析（2）最大值为8，此时棱长AD＝2
.
.(1)证明：取BC的中点E，连结AE，DE，
∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
∵AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面AED，AD?平面AED，∴BC⊥AD.
(2)由已知得，△AED为等腰三角形，且AE＝ED＝2
，
设AD＝x，F为棱AD的中点，
则EF＝
，S△AED＝
，
V＝
S△AED·(BE＋CE)＝
(0＜x＜4)，
当x2＝24，即x＝2时，Vmax＝8，
∴该四面体存在最大值，最大值为8，此时棱长AD＝2.
∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
∵AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面AED，AD?平面AED，∴BC⊥AD.
(2)由已知得，△AED为等腰三角形，且AE＝ED＝2
，设AD＝x，F为棱AD的中点，
则EF＝
，S△AED＝，V＝
S△AED·(BE＋CE)＝ (0＜x＜4)，当x2＝24，即x＝2
时，Vmax＝8，∴该四面体存在最大值，最大值为8，此时棱长AD＝2
.
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
， 
为底面圆周上一点．
的中点为
，
,求证
平面
；
,
,求此圆锥的全面积．
中，
和
都是以
为斜边的等腰直角三角形，
分别是
的中点.
//平面
;
；
，求三棱锥
，则此正方体边长为 
ABCD的体积为
,底面边长为
,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为 .
A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A
,则球的体积为 . 
a2
a2
a2
a2
，则棱锥O-ABCD的体积为________．