Question

6．如果曲线y=x⁴-x在点P处的切线垂直于直线y=-$\frac{1}{3}$x，那么点P的坐标为（　　）

• A． （1，0）
• B． （0，-1）
• C． （0，1）
• D． （-1，0）

Answer 1

分析 先根据题意求出切线的斜率k，再求出函数y=x⁴-x的导数，设P（x₀，y₀），利用导数和斜率k求出x₀，将求出的x₀代入y=x⁴-x，求出y₀．

解答 解：∵曲线y=x⁴-x在点P处的切线垂直于直线y=-$\frac{1}{3}$x，
直线y=-$\frac{1}{3}$x的斜率为-$\frac{1}{3}$，
∴曲线y=x⁴-x在点P处的切线的斜率k=3，
∵函数y=x⁴-x的导数为y′=4x³-1，
设P（x₀，y₀），
∴4${{x}_{0}}^{3}$-1=3，解得x₀=1，
∴y₀=x₀⁴-x₀=0，
∴P（1，0）．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于基础题．