Question

16．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2c-b，-a），$\overrightarrow{n}$=（cosA，cosB），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求A的值；
（2）若a=$\sqrt{7}$，sinC=3sinB，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的条件和向量的数量积运算列出式子，由正弦定理、两角和的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；
（2）由正弦定理化简sinC=3sinB，由a、A的值和余弦定理列出方程，联立方程后求出b、c的值，代入三角形的面积公式可求出△ABC的面积S．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（2c-b，-a），$\overrightarrow{n}$=（cosA，cosB），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴（2c-b）cosA-acosB=0，
在△ABC中，由正弦定理得，（2sinC-sinB）cosA-sinAcosB=0，
∴2sinCcosA-sin（A+B）=0，
由sin（A+B）=sinC≠0得，2cosA-1=0，则cosA=$\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π得，A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵sinC=3sinB，∴由正弦定理得c=3b，①
又a=$\sqrt{7}$，A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
∴7=b²+c²-bc，②
由①②得，b=1、c=3，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×1×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，以及根据三角函数的值求角，属于中档题．