Question

如图，在几何体中，平面，，是等腰直角三角形，，且，点是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）证法一是取的中点，构造四边形，并证明四边形为平行四边形，得到，从而证明平面；证法二是取的中点，构造平面，通过证明平面平面，并利用平面与平面平行的性质来证明平面；（Ⅱ）直接利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值.
试题解析：解法一：（Ⅰ）取的中点，连结，

则，且，     2分
又，∴且，所以四边形是平行四边形，
则，                    5分
又因为平面，平面，所以平面．           6分
（Ⅱ）依题得，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以，．
设平面的一个法向量为，则即，
取，得，．       10分
又设与平面所成的角为，，
则，
故与平面所成角的正弦值为．             13分
解法二：（Ⅰ）取的中点，连结，

则，
又因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，所以平面平面，
平面，∴平面．     6分
（Ⅱ）同解法一．                 13分