Question

【题目】在四棱锥中，，，，，，平面，．

（）求二面角的正弦值．

（）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

Answer 1

【答案】（）．（）．

【解析】

先由题意得到两两垂直；以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系；

（1）分别求出平面，平面的法向量，根据向量夹角余弦值，即可求出结果；

（2）先设，，根据题中条件，用表示出点坐标，再由线面角的正弦值，即可列出等式，求出结果.

因为，平面，所以，易得两两垂直；以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系；

则，，，

（）因此，，，，

所以，故，

又平面，所以，

因为，所以平面；

所以，平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则即，所以

令，则，

，

，

∴二面角正弦值为．

（）设，，

直线与平面所成角为，

则，

即，

得：，，，

∴，

∴，

，

，

得，

∴．