Question

13．已知A（1，1），B（3，4），C（2，0），向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ，则tan2θ=$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积与模长的定义，求出向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角余弦值，
再根据同角的三角函数关系与二倍角公式，计算即可．

解答 解：A（1，1），B（3，4），C（2，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，3），
$\overrightarrow{AC}$=（1，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2×1+3×（-1）=-1，
|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
由向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{13}×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
sinθ=$\sqrt{1{-cos}^{2}θ}$=$\frac{5\sqrt{26}}{26}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-5，
∴tan2θ=$\frac{2tanθ}{1{-tan}^{2}θ}$=$\frac{2×（-5）}{1{-（-5）}^{2}}$=$\frac{5}{12}$．
故答案为：$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与三角函数求值问题．是中档题．