Question

15．已知定点${F_1}（-\sqrt{2}，0）$，动点B是圆${F_2}：{（x-\sqrt{2}）^2}+{y^2}=12$（F₂为圆心）上一点，线段F₁B的垂直平分线交BF₂于P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若直线y=kx+2（k≠0）与P点的轨迹交于C、D两点．且以CD为直径的圆过坐标原点，求k的值．

Answer 1

分析 （1）判断P点轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆．设其标准方程，求出a，b即可得到所求方程．
（2）联立直线与椭圆方程，通过△＞0得k²＞1．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），通过韦达定理，结合x₁x₂+y₁y₂=0，求出k，即可得到结果．

解答 （10分）
解：（1）由题意|PF₁|=|PB|且$|{PB}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{3}$，∴$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{3}$$＞2\sqrt{2}$
∴P点轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆．设其标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）
∴$2a=2\sqrt{3}$即$a=\sqrt{3}$；又$c=\sqrt{2}$∴b²=a²-c²=1，∴P点轨迹方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）假设存在这样的k，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+3{y^2}-3=0\end{array}\right.$得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
由△=（12k）²-36（1+3k²）＞0得k²＞1．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{12k}{{1+3{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{9}{{1+3{k^2}}}\end{array}\right.$①，…（6分）
若以CD为直径的圆过坐标原点，
则有x₁x₂+y₁y₂=0，而${y_1}{y_2}=（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）={k^2}{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4$，∴${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4=0$②，
将①式代入②式整理可得${k^2}=\frac{13}{3}$，其值符合△＞0，
故$k=±\frac{{\sqrt{39}}}{3}$．…（10分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及设而不求方法的应用，是中档题．