Question

7．（1）已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的二个焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），M是椭圆上一点，且$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0，则离心率e的取值范围$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．

Answer 1

分析 （1）根据△ABF₂是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=30°．在Rt△AF₂F₁中，设|AF₁|=m，可得$\frac{|A{F}_{1}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{1}{2}$，所以|AF₂|=2m，用勾股定理算出|F₁F₂|=$\sqrt{3}$m，得到椭圆的长轴2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=$\sqrt{3}$m，即可求出椭圆的离心率；
（2）先设点M的坐标，进而表示出$\overrightarrow{{F}_{1}M}$和$\overrightarrow{{F}_{2}M}$，根据$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0求得x和y的关系式，同时把点M代入椭圆方程，表示出x，进而根据0≤x²≤a²，求得a和c的不等式，进而求得离心率e的范围．

解答 解：（1）∵△ABF₂是正三角形，
∴∠AF₂B=60°，
∵直线AB与椭圆长轴垂直，
∴F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=30°，
Rt△AF₂F₁中，设|AF₁|=m，sin30°=$\frac{|A{F}_{1}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴|AF₂|=2m，|F₁F₂|=$\sqrt{3}$m
因此，椭圆的长轴2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=$\sqrt{3}$m
∴椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）设点M的坐标为（x，y），则$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（x+c，y），$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（x-c，y）．
由$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0，得x²-c²+y²=0．①
又由点M在椭圆上，得y²=b²-$\frac{{b}^{2}{x}^{2}}{{a}^{2}}$，代入①，解得x²=a²-$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$．
∵0≤x²≤a²，
∴0≤a²-$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$≤a²，
即0≤2-$\frac{1}{{e}^{2}}$≤1．
∵e＞0，
解得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e≤1．
又∵e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．

点评 本题考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，考查了不等式的运用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．属中档题．