Question

6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1-x），若数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n+1=$\frac{1}{{1-{a_n}}}$，则f（a₂₀₁₅）=（　　）

• A． 6
• B． -6
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 由已知求出函数在x＞0时的解析式，再由数列递推式判断数列周期性，求出a₂₀₁₅，代入函数解析式得答案．

解答 解：设x＞0，则-x＜0，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-[-x（1+x）]=x（1+x）．
由a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，
得${a}_{2}=\frac{1}{1-{a}_{1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，
${a}_{3}=\frac{1}{1-{a}_{2}}=\frac{1}{1-2}=-1$，
${a}_{4}=\frac{1}{1-{a}_{3}}=\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$．
…
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
则a₂₀₁₅=a_671×3+2=a₂=2．
∴f（a₂₀₁₅）=f（2）=2×（2+1）=6．
故选：A．

点评 本题考查了数列递推式，考查了数列的周期性，训练了函数解析式的求法，是中档题．