Question

11．等差数列{a_n}的首项a₁=1，其前n项和为S_n，且a₃+a₅=a₄+7．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足不等式S_n＜3a_n-2的n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列{a_n}的通项公式求出公差d=2，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由a₁=1，a_n=2n-1，求出${S_n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}n={n^2}$，由此能求出满足不等式S_n＜3a_n-2的n的值．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d．…．（1分）
因为a₃+a₅=a₄+7，所以2a₁+6d=a₁+3d+7．…．（3分）
因为a₁=1，所以3d=6，即d=2，…．（5分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．…．（7分）
（Ⅱ）因为a₁=1，a_n=2n-1，所以${S_n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}n={n^2}$，…．（9分）
所以n²＜3（2n-1）-2，所以n²-6n+5＜0，…．（11分）
解得1＜n＜5，所以n的值为2，3，4．…．（13分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足不等式的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用．