题目内容

已如数列{an}是首项为a且公比q不等于的等比数列，Sn是其前n项和，a1、2a7、3a4成等差数列．

(1)证明：12S3，S6，S12－S6成等比数列；

(2)求和Tn＝a1＋2a4＋3a7＋…＋na3n－2．

答案：
解析：

　　(1)证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7＝a1＋3a4，即4aq6＝a＋3aq3．

　　变形得(4q3＋1)(q3－1)＝0，

　　

　　


提示：

整体思想的应用是本题求解的关键，另外等差等比数列的基本知识也应熟练掌握．


练习册系列答案
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（2006•蚌埠二模）已知等差数列{an}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=an与x轴和指数函数f(x)=(
12
)x的图象分别交于点An与Bn（如图所示），记Bn的坐标为（an，bn），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面积为sn．
（1）求证数列{sn}是公比绝对值小于1的等比数列；
（2）设{an}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以bn，bn+1，bn+2为边长的三角形？并请说明理由；
（3）（理科做，文科不做）设{an}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{sn}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）
（2007•东城区一模）已知{an}是首项为1，公比为q的等比数列，Pn=a1+a2
C
1
n
+a3
C
2
n
+…+an+1
C
n
n
（n∈N*，n＞2），Qn=
C
0
n
+
C
2
n
+
C
4
n
+…+
C
m
n
，（其中m=2[
n
2
]，[t]表示t的最大整数，如[2.5]=2）．如果数列{
Pn
Qn
}有极限，那么公比q的取值范围是（　　）
（2005•静安区一模）已知等差数列{an}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=an与x轴和指数函数f(x)=(
12
)x的图象分别交于点An与Bn（如图所示），记Bn的坐标为（an，bn），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面积为sn．
（1）求证数列{sn}是公比绝对值小于1的等比数列；
（2）设{an}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以bn，bn+1，bn+2为边长的三角形？并请说明理由；
（3）（理）设{an}的公差d（d＞0）为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{sn}各项的和S＞2010？并请说明理由．
（4）（文）设{an}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{sn}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．
已知{an}是首项为1，公比为q的等比数列，Pn=a1+a2 +a3 +…+an+1(n∈N *,n＞2),Qn=+++…+,(其中m=2［］,［t］表示t的最大整数，如［2.5］=2).如果数列{}有极限，那么公比q的取值范围是（    ）

A.-1＜q≤1,且q≠0                           B.-1＜q＜1,且q≠0

C.-3＜q≤1,且q≠0                           D.-3＜q＜1,且q≠0

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