题目内容

（2005•静安区一模）已知等差数列{an}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=an与x轴和指数函数f(x)=(
12
)x的图象分别交于点An与Bn（如图所示），记Bn的坐标为（an，bn），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面积为sn．
（1）求证数列{sn}是公比绝对值小于1的等比数列；
（2）设{an}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以bn，bn+1，bn+2为边长的三角形？并请说明理由；
（3）（理）设{an}的公差d（d＞0）为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{sn}各项的和S＞2010？并请说明理由．
（4）（文）设{an}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{sn}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．
分析：（1））an=p+（n-1）d，直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的两底长度AnBn=f（an），An+1Bn+1=f（an+1）．高为AnAn+1 =d，利用梯形面积公式表示出sn．利用等比数列定义进行证明即可．
（2）an=-1+（n-1）=n-2，bn=(
1
2
)n-2，以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，则bn+2+bn+1＞bn考查次不等式解的情况作解答．
（3）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为S=
d(2d+1)
2p+1(2d-1)
＞2010，则2p＜
d(2d+1)
2×2010×(2d-1)
探讨p的存在性．
（4）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为 S=
3
2p+1
＞2010，探讨p的存在性．
解答：解：（1）an=p+（n-1）d，bn=(
1
2
)p+(n-1)d（2分）sn=
d
2
[(
1
2
)p+(n-1)d+(
1
2
)p+nd]=
d
2
•(
1
2
)p•[(
1
2
)(n-1)d+(
1
2
)nd]，
对于任意自然数n，
sn+1
sn
=
(
1
2
)nd+(
1
2
)(n+1)d
(
1
2
)(n-1)d+(
1
2
)nd
=
1+(
1
2
)d
2d+1
=(
1
2
)d，
所以数列{sn}是等比数列且公比q=(
1
2
)d，
因为d＞0，所以|q|＜1（4分）
（写成sn=
d
2
[(
1
2
)a1+nd+(
1
2
)a1+(n-1)d]=d•(1+2d)•(
1
2
)a1+1•(
1
2
)nd，得公比q=(
1
2
)d也可）
（2）an=-1+（n-1）=n-2，bn=(
1
2
)n-2，
对每个正整数n，bn＞bn+1＞bn+2（6分）
若以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，
则bn+2+bn+1＞bn，即(
1
2
)n+(
1
2
)n-1＞(
1
2
)n-2，1+2＞4，
这是不可能的         （9分）
所以对每一个正整数n，以bn，bn+1，bn+2为边长不能构成三角形            （10分）
（3）（理）由（1）知，0＜q＜1，s1=
d(1+2d)
2p+1•2d
（11分）
所以S=
s1
1-q
=
d(2d+1)
2p+1(2d-1)
（14分）
若S=
d(2d+1)
2p+1(2d-1)
＞2010，则2p＜
d(2d+1)
2×2010×(2d-1)
（16分）
两边取对数，知只要a1=p取值为小于log2
d(2d+1)
2×2010×(2d-1)
的实数，就有S＞2010（18分）
说明：如果分别给出a1与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半．
（4）（文）s1=
3
22+p
，q=
1
2
（11分）
所以S=
s1
1-q
=
3
2p+1
（14分）
如果存在p使得S=
3
2p+1
＞2010，即2p＜
3
4020
=
1
1340
（16分）
两边取对数得：p＜-log21340，
因此符合条件的p值存在，log21340≈10.4，可取p=-11等               （18分）
说明：通过具体的p值，验证S=
3
2p+1
＞2010也可．
点评：本题是函数与数列、不等式的结合．考查等比数列的判定，含参数不等式解的讨论．考查分析解决问题，计算，逻辑思维等能力．
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1
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π
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5
5
，或(arctan2)
arccos
5
5
，或(arctan2)
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arccos
1
4
arccos
1
4
（用反三角函数表示）．

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